1/(1-x)の級数展開の数学   English  German
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　船津好明

主要事項：１、定理、　２、定理の説明、　３、p,q が特別の場合、　４、定理の証明
　　　　　５、a_niの具体化、　６、1/(1+x)の展開、　７、応用例と経緯                  
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ここでは実数を取り扱う。
１、定理
　任意の値 p,q（ただし p＜q で、開区間 (p,q) が 1 を含まない。)をとれば、p＜x＜q なる x に対して、
1/(1-x)=a_n0+a_n1x+a_n2x²+...+a_nnxⁿ＋r_n　　..........(1)
が成り立ち、任意の正数εに対し、|r_n|＜εとなる整数 n を見出すことができる。a_ni（i=0,1,2,...,n）は
p,q,n によって定まり、x を含まない。


２、定理の説明
　1/(1-x)を式(1)の形に展開できる (p,q) の領域は、図1に
示される。
 1/(1-x) は 開区間の中の全ての x に対して、x のベキ級数
で近似でき、その誤差をいくらでも小さくすることができる。
x=-1 は特別の値ではない。１つの x の値に対する式(1)の右
辺のベキ級数は、1 を含まない開区間（p,q）の取り方によっ
て定まり、かつ、p,q は任意であるから、無限に多く存在す
る。展開式の近似の精度は p,q の値によって異なる。各 x 
に対し、近似が最良となる級数が存在する。
　式(1)において x を -x に置き換えると、1/(1+x) の展開
式の形になるが、その式の x の有効範囲は p＜x＜q ではな
く、-q＜x＜-p となる。p＜x＜q における 1/(1+x) の展開式
は、式(1)とは別の形になる。この場合 x=1 は特別の値では
ない。
　以下におけるr_nの値は、式ごとに異なるが、便宜r_nで表す。

３、p,q　が特別の場合
　p=-1,q=1 のとき、即ち -1＜x＜1 のときは、a_ni=1（i=0,1,2,...,n）となり、
1/(1-x)=1+x+x²+...+xⁿ＋r_n　　　..........(2)
となる。この式は既に知られている。-1＜p=-q (-0.6＜x＜0.6など）の場合も式(2)の形になる。これ以外の
-1≦p＜x＜q≦1（0.8＜x＜1、-0.4＜x＜0.7 など）では、式(1)は式(2)と異なる形になる。-1＜x＜1の中の
x (≠0) に対しては、式(2)によるよりも近似のよい級数が存在する。

４、定理の証明
（前提）
　任意の p,q の開区間（ただし p＜qで、p=1 および q=1 は区間外とする。）の存在位置は、①1≦p、
②q≦1 に分けられる（境界共有）が、以下では ①1≦p の場合について式(1)を証明する。②の場合も
同様である。

（証明）
  任意の正数を　p,q（1≦p＜q）とし、p＜x＜q　なる x に
対し、もう一つの変数 y を立て、
y=(2x-q-p)/(q-p)　　　   ..........(3)
とおくと -1＜y＜1 となる。よって、
1/(1-y)=1+y+y²+...+yⁿ＋r_n　　..........(4)
が成り立つ。式(3)から
x={(q-p)y+(q+p)}/2　　　    ..........(5)
となる。よって、
1/(1-x)=1/[1-{(q-p)y+(q+p)}/2]
={-2/(q+p-2)}{1+(q-p)y/(q+p-2)}^-1      ..........(6)
となる。1≦p＜q から y の係数は、0＜(q-p)/(q+p-2),
(q-p)/(q+p-2)≦1 で、かつ、-1＜y＜1　であるから、|(q-p)y/(q+p-2)|＜1 となる。よって式(6)は展開
可能で、
1/(1-x)={-2/(q+p-2)}[1-{(q-p)y/(q+p-2)}+{(q-p)y/(q+p-2)}²+...
+(-1)ⁿ{(q-p)y/(q+p-2)}ⁿ]+r_n ..........(7)
となる。ここで右辺の n 次以下の y に式(3)を代入して変数を x に戻して、x のベキ級数に整理すれば、
式(1)の形になる。式(7)は収束級数であり、|r_n|を任意の正数εより小さくすなるような n が存在すること
は明らかである。
  なお、式(7)において変数を y から x に変更する場合、r_n はそのままにしておく。式(7)のr_n の中の 
y を拾い集めることは正しくない。

５、a_ni の具体化
  例として n=1,2,3,4 に対する a_ni を具体的に示す。

 ５.１　１次式
式(7)の級数において１次までとり、y に式(3)を代入して整理すると、
a₁₀=-2{1+(q+p)/(q+p-2)}/(q+p-2),  a₁₁=4/(q+p-2)²　　　..........(8)
となる。この a₁₀, a₁₁により、１次式は
1/(1-x)=a₁₀+a₁₁x+r₁          ..........(9)
となる。

 ５.２　２次式
　式(7)の級数において２次までとり、yに式(3)を代入して整理すると、
a₂₀=-2[1+(q+p)/(q+p-2)+{(q+p)/(q+p-2)}²]/(q+p-2),
a₂₁=4{1+2(q+p)/(q+p-2)}/(q+p-2)²,  a₂₂=-8/(q+p-2)³　　　 ..........(10)
となる。この a₂₀, a₂₁, a₂₂により、２次式は
1/(1-x)=a₂₀+a₂₁x+a₂₂x²+r₂           ..........(11)
となる。

 ５.３　３次式
　式(7)の級数において３次までとり、y に式(3)を代入して整理すると、
a₃₀=-2[1+(q+p)/(q+p-2)+{(q+p)/(q+p-2)}²+{(q+p)/(q+p-2)}³]/(q+p-2),
a₃₁=4[1+2(q+p)/(q+p-2)+3{(q+p)/(q+p-2)}²]/(q+p-2)²,
a₃₂=-8{1+3(q+p)/(q+p-2)}/(q+p-2)³,  a₃₃=16/(q+p-2)⁴　　　  ..........(12)
となる。これらにより、３次式は
1/(1-x)=a₃₀+a₃₁x+a₃₂x²+a₃₃x³+r₃       ..........(13)
となる。

 ５.４　４次式
　式(7)の級数において４次までとり、y に式(3)を代入して整理すると、
a₄₀=-2[1+(q+p)/(q+p-2)+{(q+p)/(q+p-2)}²+{(q+p)/(q+p-2)}³+{(q+p)/(q+p-2)}⁴]/(q+p-2),
a₄₁=4[1+2(q+p)/(q+p-2)+3{(q+p)/(q+p-2)}²+4{(q+p)/(q+p-2)}³]/(q+p-2)²,
a₄₂=-8[1+3(q+p)/(q+p-2)+6{(q+p)/(q+p-2)}²]/(q+p-2)³,
a₄₃=16{1+4(q+p)/(q+p-2)}/(q+p-2)⁴,   a₄₄=-32/(q+p-2)⁵　　　　..........(14)
となる。これらにより、４次式は
1/(1-x)=a₄₀+a₄₁x+a₄₂x²+a₄₃x³+a₄₄x⁴+r₄   ..........(15)
となる。

６、1/(1+x)の展開
　任意の値　p,q（ただし、p＜q で開区間 (p,q) が -1 を含まない。) をとれば p＜x＜q における x に
対して、
1/(1+x)=b_n0+b_n1x+b_n2x²+...+b_nnxⁿ+r_n   ..........(16)
が成り立ち、任意の正数εに対し、|r_n|＜εとなる整数 n が存在する。特別の場合として、-p=q≦1 の
ときは 1/(1+x)=1-x+x²-x³+...+(-1)ⁿxⁿ+r_n である。各b_niを４次の係数まで示すと、以下の通りである。
b₁₀=2{1+(q+p)/(q+p+2)}/(q+p+2), b₁₁=-4/(q+p+2)²,
b₂₀=2[1+(q+p)/(q+p+2)+{(q+p)/(q+p+2)}²]/(q+p+2),
b₂₁=-4{1+2(q+p)/(q+p+2)}/(q+p+2)², b₂₂=8/(q+p+2)³,
b₃₀=2[1+(q+p)/(q+p+2)+{(q+p)/(q+p+2)}²+{(q+p)/(q+p+2)}³]/(q+p+2),
b₃₁=-4[1+2(q+p)/(q+p+2)+3{(q+p)/(q+p+2)}²]/(q+p+2)²,
b₃₂=8{1+3(q+p)/(q+p+2)}/(q+p+2)³,  b₃₃=-16/(q+p+2)⁴,
b₄₀=2[1+(q+p)/(q+p+2)+{(q+p)/(q+p+2)}²+{(q+p)/(q+p+2)}³+{(q+p)/(q+p+2)}⁴]/(q+p+2),
b₄₁=-4[1+2(q+p)/(q+p+2)+3{(q+p)/(q+p+2)}²+4{(q+p)/(q+p+2)}³]/(q+p+2)²,
b₄₂=8[1+3(q+p)/(q+p+2)+6{(q+p)/(q+p+2)}²]/(q+p+2)³,
b₄₃=-16{1+4(q+p)/(q+p+2)}/(q+p+2)⁴,  b₄₄=32/(q+p+2)⁵　　　..........(17)


７、応用例と経緯
　統計学において応用した。変動範囲が有限の確率変数 X について、1/X の期待値を求めるに当たり、
定数 a（≠0)をとって、1/X=1/(a+X-a)=(1/a)[1/{1+(X-a)/a}] と変形し、右辺の展開に応用した。
理論により |(X-a)/a|＜1 の条件は必要でない。著者はこの理論を1979年に発見し、その応用論文を
日本統計学会誌に寄稿したが、査読の結果、理論に間違いがあるとの判定で受け容れられなかった。
著者は判定を不服として、２つの論文をインドとアメリカに送った。そして２つとも間違いはないと
して認められ、次の通り学術誌に掲載された。

Y.Funatsu, A note 0n Koop's procedure to obtain the bias of the ratio estimate. 
    Sankhya: The Indian journal of statistics 1982, Volume 44, Series B, Pt.2, pp.219-222.
Y.Funatsu, A METHOD OF DERIVING VALID APPROXIMATE EXPRESSIONS FOR BIAS IN RATIO ESTIMATION.
    Journal of Statistical Planning and Inference 6(1982)215-225, North Holland Publishing
    Company.

これらにより著者は博士の学位を得て大学教授となった。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（以上）

（連絡先）
〒1870002　東京都小平市花小金井2-6-1　船津好明
Email   funatsu@mvf.biglobe.ne.jp

本稿URL　http://www.wwq.jp/