ÿþ<HTML><HEAD><TITLE></TITLE></HEAD><BODY><PRE> <font size=4>Eine mathematische Methode der Reihenentwicklung von 1/(1-x)</font> <A HREF="amath.html">Japanisch</A> <A HREF="amathe.html">Englisch</A> 00000000000000000000000000000000000Y. Funatsu <A HREF="amathd2.html">Untersuchung mit Zahlen</A>0<A HREF="amathsankood.html">Beispiele der Entwicklung von 1/(1±x)</A> <A HREF="recipronegad.html">Rechnungsformular von 1/(1-x)</A>, <A HREF="reciproposid.html">1/(1+x)</A> Inhalt 1. Satz 2. Erklärung 3. Sonderfall von p und q 4. Beweis des Satzes 5. Ausdrücke von a<sub>ni</sub> 6. Entwicklung von 1/(1+x) 7. Anwendung und damit verbundene Umstände Hier behandeln wir reelle Zahlen. 1. Satz p und q (pÿq) seien zwei beliebige Werte. Wenn in dem offenen Intervall (p,q) 1 nicht enthalten ist, dann kann man folgende Reihenentwicklung für x mit pÿxÿq ansetzen. 1/(1-x)=a<sub>n0</sub>+a<sub>n1</sub>x+a<sub>n2</sub>x<sup>2</sup>+...+a<sub>nn</sub>x<sup>n</sup>+r<sub>n</sub> ............(1) wobei wir eine natürliche Zahl n finden können, so daß das Restglied |r<sub>n</sub>|ÿµ wird, mit einer beliebigen kleinen positiven Zahl. Die Koeffizienten a<sub>ni</sub>(i=0,1,2,...,n) sind dabei von p,q und n, aber nicht von x abhängig. <IMG SRC="amathd1.gif" ALIGN="RIGHT"> 2. Erklärung Abb.1 veranschaulicht den Bereich von p und q, in dem die Formel (1) gilt. Dann wird 1/(1-x) durch die Potenzreihe £a<sub>ni</sub>x<sup>i</sup> (Summe durch i=0,1,2,...,n) genähert. Das Restglied wird kleiner als ein beliebiges µÿ0, wie wir es wünschen. a<sub>ni</sub> ändert sich für gleiches x, weil p und q beliebig sind. Daher hat a<sub>ni</sub> unendlich viele Werte für gleiches x. Die Präzision der Näherung hängt von p,q und n ab. Für jedes x gibt es eine beste Folge, die die Abweichung der Näherung vom vorgegebenen Wert minimiert. Wenn wir in (1) x zu -x ändern, wird die Formel zu 1/(1+x). Dann ist das wirksame Intervall nicht (p,q), sondern (-q,-p), und die Koeffizienten ändern sich auch. In den Formeln unten schreiben wir einfach r<sub>n</sub> für das Restglied, obwohl sich der Wert für jede Formel ändert. 3. Sonderfall von p und q Wenn p=-1 und q=1, d.h. -1ÿxÿ1, dann gilt a<sub>ni</sub>=1 für i=0,1,2,...,n, und es gilt daher 1/(1-x)=1+x+x<sup>2</sup>+...+x<sup>n</sup>+r<sub>n</sub> ...........(2) Das ist eine wohlbekannte Formel der Analysis. Wenn -1ÿp=-q (z.B. -0,6ÿxÿ0,6), ergibt sich die Formel (2). Sonst (z.B. 0,8ÿxÿ1 oder -0,4ÿxÿ0,7) ergeben sich andere Formeln. Für jedes x (`"0) mit -1ÿxÿ1 liegen Folgen vor, deren Fehler der Näherung kleiner als (2) sind. 4. Beweis des Satzes Voraussetzung: Das Intervall (p,q) hat 2 Fälle, für die `$p rechts von 1 auf der Abszisse liegt, d.h. 1d"p und a$q links von 1 auf der Abszisse <IMG SRC="amathd2.gif" ALIGN="RIGHT"> liegt, d.h. qd"1 (gemeinsamer Rand). Wir beweisen den Fall 1d"p, d.h. 1d"pÿq. Der Fall qd"1 wird analog bewiesen. Beweis: Wir nehmen eine andere Variable y für x mit pÿxÿq, so daß wir definieren können y=(2x-q-p)/(q-p) ...........(3) Dann ist das Zuordnungsintervall von y als (-1,1) gegeben, d.h. -1ÿyÿ1. Abb.2 ver- anschaulicht die Zuordnung von x gegen y. Daher haben wir die folgende Formel für y: 1/(1-y)=1+y+y<sup>2</sup>+...+y<sup>n</sup>+r<sub>n</sub> ......(4) Von (3) haben wir x={(q-p)y+(q+p)}/2 .............(5) Daher gilt 1/(1-x)=1/[1-{(q-p)y+(q+p)}/2]={-2/(q+p-2)}{1+(q-p)y/(q+p-2)}<sup>-1</sup> ............(6) Der Koeffizient von y in (6) ist mit 1d"pÿq positiv und kleiner als 1, d.h. 0ÿ(q-p)/(q+p-2) und (q-p)/(q+p-2)d"1. Und mit -1ÿyÿ1 haben wir mittels der bekannten Formel der Analysis 1/(1+x)=1-x+x<sup>2</sup>-x<sup>3</sup>+x<sup>4</sup>... und |(q-p)y/(q+p-2)|ÿ1 folgende Entwicklung 1/(1-x)={-2/(q+p-2)}[1-{(q-p)y/(q+p-2)}+{(q-p)y/(q+p-2)}<sup>2</sup>+... +(-1)<sup>n</sup>{(q-p)y/(q+p-2)}<sup>n</sup>]+r<sub>n</sub> ............(7) Dann ersetzen wir y wieder durch x mittels (3) bis zu y<sup>n</sup> und ordnen nach jeder Potenz von x. Schließlich ergibt sich die Formel (1). Es ist verstäntlich mittels (7) und auch (1), daß wir ein n finden und damit |r<sub>n</sub>| kleiner als µÿ0 machen, weil (4) und (7) mit n’!" konvergent sind. In diesem Verfahren lassen wir den Wert von r<sub>n</sub> unberücksichtigt. Es ist nicht richtig, r<sub>n</sub> in der Folge zu berücksichtigen. 5. Ausdrücke von a<sub>ni</sub> Wir drücken nun konkrete a<sub>ni</sub> für n=1,2,3,4 aus. 5.1 Für n=1 Wir nehmen die Glieder in (7) bis y<sup>1</sup> und danach ändern wir y zu x mittels (3). Dann ist a<sub>10</sub>=-2{1+(q+p)/(q+p-2)}/(q+p-2), a<sub>11</sub>=4/(q+p-2)<sup>2</sup> ..........(8) Damit gilt 1/(1-x)=a<sub>10</sub>+a<sub>11</sub>x+r<sub>1</sub> ............(9) 5.2 Für n=2 Wir nehmen die Glieder in (7) bis zu y<sup>2</sup> und danach ändern wir y zu x mittels (3). Dann ist a<sub>20</sub>=-2[1+(q+p)/(q+p-2)+{(q+p)/(q+p-2)}<sup>2</sup>]/(q+p-2), a<sub>21</sub>=4{1+2(q+p)/(q+p-2)}/(q+p-2)<sup>2</sup>, a<sub>22</sub>=-8/(q+p-2)<sup>3</sup> ...........(10) Damit ist 1/(1-x)=a<sub>20</sub>+a<sub>21</sub>x+a<sub>22</sub>x<sup>2</sup>+r<sub>2</sub> ............(11) 5.3 Für n=3 Wir nehmen die Glieder in (7) bis zu y<sup>3</sup> und danach ändern wir y zu x mittels (3). Dann ist a<sub>30</sub>=-2[1+(q+p)/(q+p-2)+{(q+p)/(q+p-2)}<sup>2</sup>+{(q+p)/(q+p-2)}<sup>3</sup>]/(q+p-2), a<sub>31</sub>=4[1+2(q+p)/(q+p-2)+3{(q+p)/(q+p-2)}<sup>2</sup>]/(q+p-2)<sup>2</sup>, a<sub>32</sub>=-8{1+3(q+p)/(q+p-2)}/(q+p-2)<sup>3</sup>, a<sub>33</sub>=16/(q+p-2)<sup>4</sup> ............(12) Damit ist 1/(1-x)=a<sub>30</sub>+a<sub>31</sub>x+a<sub>32</sub>x<sup>2</sup>+a<sub>33</sub>x<sup>3</sup>+r<sub>3</sub> .............(13) 5.4 Für n=4 Wir nehmen die Glieder in (7) bis zu y<sup>4</sup> und danach ändern wir y zu x mittels (3). Dann ist a<sub>40</sub>=-2[1+(q+p)/(q+p-2)+{(q+p)/(q+p-2)}<sup>2</sup>+{(q+p)/(q+p-2)}<sup>3</sup>+{(q+p)/(q+p-2)}<sup>4</sup>]/ (q+p-2), a<sub>41</sub>=4[1+2(q+p)/(q+p-2)+3{(q+p)/(q+p-2)}<sup>2</sup>+4{(q+p)/(q+p-2)}<sup>3</sup>]/(q+p-2)<sup>2</sup>, a<sub>42</sub>=-8{1+3(q+p)/(q+p-2)+6{(q+p)/(q+p-2)}<sup>2</sup>}/(q+p-2)<sup>3</sup>, a<sub>43</sub>=16{1+4(q+p)/(q+p-2)}/(q+p-2)<sup>4</sup>, a<sub>44</sub>=-32/(q+p-2)<sup>5</sup> ............(14) Damit ist 1/(1-x)=a<sub>40</sub>+a<sub>41</sub>x+a<sub>42</sub>x<sup>2</sup>+a<sub>43</sub>x<sup>3</sup>+a<sub>44</sub>x<sup>4</sup>+r<sub>4</sub> ...........(15) 6. Entwicklung von 1/(1+x) p und q (pÿq) seien zwei beliebige Werte. Wenn in dem offenen Intervall (p,q) -1 nicht enthalten ist, dann haben wir folgende Formel für x mit pÿxÿq. 1/(1+x)=b<sub>n0</sub>+b<sub>n1</sub>x+b<sub>n2</sub>x<sup>2</sup>+...+b<sub>nn</sub>x<sup>n</sup>+r<sub>n</sub> .............(16) wobei wir ein n finden können, so daß |r<sub>n</sub>|ÿµ mit einer kleinen positiven Zahl µ wird. b<sub>ni</sub>(i=0,1,2,...,n) wird von p,q und n bestimmt, aber nicht von x. b<sub>ni</sub> ist allgemein nicht gleich a<sub>ni</sub>. Als Sonderfall, wenn -p=qd"1, und damit |x|ÿ1 gilt 1/(1+x)=1-x+x<sup>2</sup>-...+(-1)<sup>n</sup>x<sup>n</sup>+r<sub>n</sub> Diese Formel ist wohlbekannt. Konkretes b<sub>ni</sub> (n,id"4) ergibt Folgendes: b<SUB>10</SUB>=2{1+(q+p)/(q+p+2)}/(q+p+2), b<SUB>11</SUB>=-4/(q+p+2)<SUP>2</SUP>, b<SUB>20</SUB>=2[1+(q+p)/(q+p+2)+{(q+p)/(q+p+2)}<SUP>2</SUP>]/(q+p+2), b<SUB>21</SUB>=-4{1+2(q+p)/(q+p+2)}/(q+p+2)<SUP>2</SUP>, b<SUB>22</SUB>=8/(q+p+2)<SUP>3</SUP>, b<SUB>30</SUB>=2[1+(q+p)/(q+p+2)+{(q+p)/(q+p+2)}<SUP>2</SUP>+{(q+p)/(q+p+2)}<SUP>3</SUP>]/(q+p+2), b<SUB>31</SUB>=-4[1+2(q+p)/(q+p+2)+3{(q+p)/(q+p+2)}<SUP>2</SUP>]/(q+p+2)<SUP>2</SUP>, b<SUB>32</SUB>=8{1+3(q+p)/(q+p+2)}/(q+p+2)<SUP>3</SUP>, b<SUB>33</SUB>=-16/(q+p+2)<SUP>4</SUP>, b<SUB>40</SUB>=2[1+(q+p)/(q+p+2)+{(q+p)/(q+p+2)}<SUP>2</SUP>+{(q+p)/(q+p+2)}<SUP>3</SUP>+{(q+p)/(q+p+2)}<SUP>4</SUP>]/(q+p+2), b<SUB>41</SUB>=-4[1+2(q+p)/(q+p+2)+3{(q+p)/(q+p+2)}<SUP>2</SUP>+4{(q+p)/(q+p+2)}<SUP>3</SUP>]/(q+p+2)<SUP>2</SUP>, b<SUB>42</SUB>=8[1+3(q+p)/(q+p+2)+6{(q+p)/(q+p+2)}<SUP>2</SUP>]/(q+p+2)<SUP>3</SUP>, b<SUB>43</SUB>=-16{1+4(q+p)/(q+p+2)}/(q+p+2)<SUP>4</SUP>, b<SUB>44</SUB>=32/(q+p+2)<SUP>5</SUP>0...........(17) 7. Anwendung und damit verbundene Umstände Die Theorie wurde auf die Statistik angewandt. Wenn X eine Zufallsgröße ist und der Erwartungswert von 1/X gesucht ist, gilt diese Theorie. Wir schreiben mit beliebigem a (`"0) 1/X=1/(a+X-a)=(1/a)[1/{1+(X-a)/a}]. Die Bedingung |(X-a)/a|ÿ1 ist nicht nötig für diese Theorie, um 1/{1+(X-a)/a} zu entwickeln. Der Autor entdeckte die Theorie 1979 und reichte eine Anwendungsabhandlung bei der japanischen Gesellschaft für Statistik ein. Aber sie sagte, daß die Theorie nicht richtig war und erkannte sie nicht an. Der Autor stimmte nicht zu und sandte 2 Anwendungsabhandlungen, eine nach Indien, und eine in die U.S.A. Sie erkannten diese Abhandlungen an und so sind sie wie folgt erschienen: Y.Funatsu, A note 0n Koop's procedure to obtain the bias of the ratio estimate. Sankhy: The Indian journal of statistics 1982, Volume 44, Series B, Pt.2, pp.219-222. Y.Funatsu, A METHOD OF DERIVING VALID APPROXIMATE EXPRESSIONS FOR BIAS IN RATIO ESTIMATION. Journal of Statistical Planning and Inference 6(1982)215-225, North Holland Publishing Company. Danach machte der Autor seinen Doktor und wurde er Universitätsprofessor. (Adresse) Y. Funatsu Hanakoganei 2-6-1, kodairashi, 1870002 Tokyo, Japan Email <A HREF="mailto:funatsu@mvf.biglobe.ne.jp">funatsu@mvf.biglobe.ne.jp</A> </PRE> </BODY></HTML>