（２）度数分布の分散、標準偏差など
      Variance, Standard deviation, etc. of frequency distribution

　
変数が幅のある階級に区分されているときは、計算用の変数は階級の代表値とします。
階級の代表値が不明のときは、階級の中央値などを階級の代表値とします。
階級の変数の総和が示されているときは、階級の代表値を割り出すことができます。

分散(Variance)  階級の代表値を変数として、先ず平均を求め、次に変数と平均の差
  （偏差）の２乗を作り、それに度数を掛けて合算し、度数の合計で割って求めます。
      あるいは変数の２乗に度数を掛けて合算し、度数の合計で割って変数の２乗平
    均を求め、これから平均の２乗を引いても、同じ結果となります。どちらの方法
    でも構いません。

      変数が階級に区分されていないときや、階級に区分されていても階級に幅が
      ないときは、その変数で計算します。

標準偏差(Standard deviation)  分散の平方根（正の方）です。

変動係数(Coefficient of variation, Relative standard deviation)  標準偏差を
    平均で割って求めます。変動係数は相対標準偏差ともいいます。

       計算例(1)　次表は、ある果樹園から１季節に出荷された桃の
　　　    重さ（ｇ）の分布です。(階級は、以上−未満)

　　　　　　 階級�@　　中央値�A　　個数�B    重さの計�C
             160 -170      165       93　　   15454
             170 -180      175      165　　　 28658
             180 -190      185      252       45986
             190 -200      195      318       63003
             200 -210      205      355       73100
             210 -220      215      293       63019
             220 -230      225      176       38932
             230 -240      235      132       31120
             240 -250      245       84       20298
          　----------------------------------------
            計         - 
   
　　　　　階級の重さの計を用いた場合、桃の重さの分散は、関連ページにより平均が 203.19593であったので
           変数をそのまま２乗する方法をとれば、
            {(93*166.172042+165*1173.684852+252*182.484132+318*198.122642+
              355*205.915492+293*215.081912+176*221.204552+132*235.757582+
              84*241.642862}/1868-203.195932=402.9372(g2)

          標準偏差は √402.9372=20.0733(g)

          変動係数は 20.0733/203.19593=0.09879

          となります。

            階級の中央値を用いた場合
　　　　    {(93*(165-203.32976)2+165*(175-203.32976)2+252*(185-203.32976)2+
             318*(195-203.32976)2+355*(205-203.32976)2+293*(215-203.32976)2+
             176*(225-203.32976)2+132*(235-203.32976)2+84*(245-203.32976)2}/
              1868=416.2681(g2)

          標準偏差は √416.2681=20.4027(g)

          変動係数は 20.4027/203.3298=0.10034

          となります。

関連応用問題
  
      計算例(2)　Ｆ氏宅の６０日間の電話の呼数の分布が、次表の通りのとき、
        呼数の分散を求めるには、呼数の２乗に日数を掛けて合算し、日数の
　　　　合計で割り、別に求めた平均の２乗を引いて求めます。

          １日の呼数 X    日数 f
                0           5
                1           8
                2          10
                3          12
                4           9
                5           7
                6           4
                7           3
                8           1
                9           1  
　　　　　　-------------------
               計          60

        呼数の２乗平均は

        　(0*0*5+1*1*8+2*2*10+3*3*12+4*4*9+5*5*7+6*6*4
           +7*7*3+8*8*1+9*9*1)/(5+8+10+12+9+7+4+3+1+1)
           =15.1833

        平均(関連ページ)の２乗は 3.28332=10.7803ですから

　　　　分散は

          =15.1833-10.7803=4.4031（呼2)

        となります。

        標準偏差は  √4.4031=2.0983（呼）

        変動係数は  2.0983/3.2833=0.6391

        です。

 
　　　−−−−−−−−−−−−−−−−　　　
　　　理論

          Ｋ個のデータ Xi （幅のある階級に区分されているときは、その中央値
          など）とそれぞれに対応する度数 fi が

             X1,X2,....,XK
             f1,f2,....,fK

          であるとき、X の分散は

           　  (1)
　　　　　　   （Ｆは各 fiの合計）
  
        と表わし、これを分散といいます。この式は

             =(ΣfX2)/F-{(ΣfX)/F}2  (2)

        と変形できます。式 (1),(2)は数理的に同じで、どちらを使っても構い
        ません。実務では (2)式がよく用いられます。

        標準偏差は

           σ=√(σ2)

        変動係数は

           CV=σ/

        です。 　     
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

分散などの意味と計算手順のまとめ

意味：分散は散布度（２次）の基本的尺度、主に理論で使用。

      標準偏差は散布度（１次）の基本的尺度、主に実務で使用。

      変動係数は散布度（０次）の基本的尺度、主に実務で使用。

計算手順：１、データから F, ΣfX, ΣfX2 を求める。

          ２、これらを上式 (2)にあてはめる。

          ３、分散、標準偏差、変動係数の順に求める。

　　　
      練習問題(1)

          Ｇ氏の週ごとの晩酌の頻度は下表の通りです。
          晩酌の回数の分散などを求めなさい。

             回数 X    週の数 f
                0          1
                1          5
                2          7
                3         14
                4         13
                5          8
                6          3
                7          1
              ----------------
               計         52

        [答（計算値） 分散 2.2056(回2)、標準偏差 1.4851(回)、変動係数 0.4339]
          
          練習問題(1)の関連ページ

      練習問題(2)

        　ある村に、次のような世帯統計があります。
　　　　　世帯人員の分散などを求めなさい。

　　　　　　世帯人員規模　　世帯数　　世帯人員
　　　　　　　　　1            52         52
                  2           449        898
                  3          1048       3144
                  4           926       3704
                  5           530       2650
                6-7           270       1728
               8-10            24        205
              11以上　　　　　  1         12

          [答（計算値）分散 1.7451(人2),標準偏差 1.3210(人),変動係数 0.3518]

　　     （この問題では、世帯人員規模６人以上の階級の代表値は、世帯数と
           世帯人員から割り戻す）

           練習問題(2)の関連ページ

統計計算例集目次