（３）確率分布の分散、標準偏差など
      Variance,　Standard deviation, etc. of probability distribution

　

分散(Variance)  変数と期待値の差の２乗の期待値を分散といいます。
　　　あるいは
　　　変数の２乗の期待値から、期待値の２乗を引いても、同じ結果となります。
　　　どちらの方法によっても構いません。

標準偏差(Standard deviation)  分散の平方根（正の方）です。

変動係数(Coefficient of variation, Relative standard deviation)  標準偏差
      を平均で割って求めます。相対標準偏差に当たります。

    計算例　１から６までの数字が記されているサイコロを振ったとき、
　　　出た目の金額を貰えるとし、その額の分散などを求めてみます。
　　　ます。各目の出る確率は、等しく 1/6であるとします。
        期待値は 3.5でしたから、分散は
        　(1-3.5)2*1/6+(2-3.5)2*1/6+(3-3.5)2*1/6
          +(4-3.5)2*1/6+(5-3.5)2*1/6+(6-3.5)2*1/6
          =2.9167
        標準偏差は  √2.9167=1.7078

        変動係数は  1.7078/3.5=0.4880

        です。

 
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　　　理論

          変数の取りうる値が Xi、そうなる確率をそれぞれ Piとするとき、
　　　　　Xiと Piの全体からなる一式

             X1,X2,....,XK
             P1,P2,....,PK

          を X の確率分布といいます。X の期待値をμと書けば
　　　　　分散は
           　  (1)

        と表わされます。この式は

             -μ2=ΣX2P-(ΣXP)2  (2)

        と変形できます。式 (1),(2)は数理的に同じで、どちらを使っても構いません。実務では
        (2)式がよく用いられます。

        標準偏差は

           σ=√(σ2)

        変動係数は

           CV=σ/||

        です。 　     
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期待値の分散の意味と計算手順のまとめ

意味：分散は散布度（２次）の基本的尺度、主に理論で使用。

      標準偏差は散布度（１次）の基本的尺度、主に実務で使用。

      変動係数は散布度（０次）の基本的尺度、主に実務で使用。

計算手順：１、ΣP=1 を確認する。

          ２、データから ΣXP, ΣX2P を求める。

          ３、これらを上式 (2)にあてはめる。

          ４、分散、標準偏差、変動係数の順に求める。

　　　
        練習問題

          １９９８年のサマージャンボ宝くじの賞金額の分布は、次の通りです。
          くじを１枚買った時の賞金の分散などを求めなさい。

　　             等　　        賞金額　　　　    本数　　　当たる確率
　　             1等　　      6000万円           120本      0.0000003
               1等の前後賞    4500万円           240本      0.0000006
              1等の組違い賞    10 万円         11880本      0.0000297
                 2等          1000万円           120本      0.0000003
                 3等           100万円          2000本      0.000005
                 4等             5万円         80000本      0.0002
                 5等             1万円        400000本      0.001
                 6等            3000円       4000000本      0.01
                 7等             300円      40000000本      0.1
               ﾗｯｷｰﾚｼﾞｬｰ賞      50万円          4000本      0.00001
                等外               0円     355501640本      0.8887541
              -------------------------------------------------------
                  計               -       400000000本      1.0000000
                                                (4億本)

     (注：くじ１枚は 300円)

      [答（計算値）　分散 23.3348(万円2)、標準偏差 4.8306(万円)、変動係数 342.6691]

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