集団の部分と全体の関係

（４）全分散、外分散、内分散、分散比

  理論

  １つの集団を、幾つかの部分集団に分けると、外分散σb2と内分散σw2が生じますが、
    これらと全分散σ2との間には関係があり、

        σ2=σb2+σw2     （１）

    となります。これにより、部分集団ごとの平均と分散が分かっていれば、
　　元の個別データを知らなくても、全分散は求められます。

  上のことは、全分散が外分散と内分散に分けられることを示しています。

　上のことは、初めに集団が幾つかあって、それらを併合して全集団とする
　　場合も同じです。

  分散比

  外分散と内分散を用いて

        F={(N-K)σb2}/{(K-1)σw2}     （２）

  という指標を作ると、この Fは部分集団の平均のばらつきを一層顕著に示す
  ものとなります。

  部分集団を作るとき、各部分集団の平均にあまり差がないようにすると、
    Fの値は１より小さくなる向きとなります。

  部分集団を作るとき、各部分集団の特性に特別の考慮を払わないような場合は、
    Fの値は１に近い向きとなります。

  部分集団を作るとき、各部分集団の平均に差をつけようとすると、
    Fの値は１より大きくなる向きとなります。

  Fのこれらの性質により、Fの値は、部分集団の間の異質性の尺度として
　　利用することができます。

  部分集団が、正規分布から抽出された標本からなるとき、Fの値は
    自由度 K-1,N-Kの F分布をします。
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計算例

  ある市に４つの高校があり、同じ学年で同じ問題の統一試験が行われました。
  学校別の生徒数と点数の分散などは次の通りです。４校の内分散、外分散、
  全分散、Fの値を求めてみます。


学校(i)
１
２
３
４
生徒数(Ni)
135
190
92
156
平均点(μi)
73
67
85
74

分散(σi2)
278
137
220
463


  既に算出してある σb2=35.286, σw2=272.300により
  σ2=307.586,  さらに N=573, K=4により

      F=(573-4)*35.286/{(4-1)*272.3}=24.578

  となって、学校間でかなりの差がみられます。

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練習問題

ある農家では、収穫したじゃが薯を袋詰めにして販売するのに、
　袋ごとに薯の大きさを揃えて、消費者の求めに応じることにしています。
　次の表は、５袋の薯の重さを示しています。
　薯の重さについて、内分散、外分散、全分散の関係を確かめるほか、
　Fの値を求めなさい。


袋(i)
重さ（ｇ）
１
158
165
171
.
.
.
.
.
.
.
.
２
125
120
134
118
.
.
.
.
.
.
.
３
102
107
95
89
96
.
.
.
.
.
.
４
70
75
67
69
65
74
71
.
.
.
.
５
37
38
45
51
46
37
43
47
49
54
45

 
ヒント：別の計算により σb2=1505.182, σw2=27.442, σ2=1532.623
　　　　により、上の（１）式が成り立つことを確かめます。
        次に、N=30, k=5などから（２）式により Fを求めます。

        F=342.815　となり、１より非常に大きいので、袋への仕分けがよく
　　　　できているといえます。ただし、ここでは正規分布を基礎としてい
        ないので、F分布表の使用や確率的な検討はできません。