集団の部分と全体の関係

（３）内分散

１つの集団を、幾つかの部分集団に分けたとき、各部分集団内の分散に着目します。

各部分集団内の分散を、その部分集団の大きさをウエイトにして、全部分集団に
  亘って加重平均したものを、内分散といい普通、σw2で表わします。

上のことは、初めに集団が幾つかあって、それらを併合して１つの集団とする場合
  も同じです。

部分集団に分ける以前の集団、あるいは併合された集団を、全集団といい、その分散
  を全分散といいます。内分散は全分散とは別のものです。
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理論

  大きさNの１つの集団を、大きさNiのK個の部分集団に分け、各部分集団内の分散を
  σi2とします。

      大きさ  N1,  N2,...., NK　　
      分散   σ12, σ22,....,σK2

  このとき、内分散σw2は
、
      σw2=(ΣNiσi2)/N      （１）

  として求められます。Σは iを１から Kまで合計することを意味します。
  これは

      内分散＝部分集団の分散の平均

  という関係を表すものです。
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計算例

  ある市に４つの高校があり、同じ学年で同じ問題の統一試験が行われました。
  学校別の生徒数と点数の分散などは次の通りです。４校の内分散を出してみます。


学校(i)
１
２
３
４
生徒数(Ni)
135
190
92
156
平均点(μi)
73
67
85
74

分散(σi2)
278
137
220
463


 
  全生徒数は 135+190+92+156=573(人)
  となるので、内分散σw2は

      σw2=(135*278+190*137+92*220+156*463)/573=156028/573=272.300(点2)

  となります。
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練習問題

  ある農家では、収穫したじゃが薯を袋詰めにして販売するのに、
　  袋ごとに薯の大きさを揃えて、消費者の求めに応じることにしています。
　  次の表は、５袋の薯の重さを示しています。
　  薯の重さについて、袋に関する内分散を求めなさい。


袋(i)
重さ（ｇ）
１
158
165
171
.
.
.
.
.
.
.
.
２
125
120
134
118
.
.
.
.
.
.
.
３
102
107
95
89
96
.
.
.
.
.
.
４
70
75
67
69
65
74
71
.
.
.
.
５
37
38
45
51
46
37
43
47
49
54
45


 
ヒント：袋ごとの分散を出して、（１）式にあてはめます。
        [答 σw2=27.442(g2)]