歪度

（２）度数分布の歪度  Skewness of frequency distribution

歪度は、データが平均の回りに対称に分布していない度合いを示す尺度です。
  非対称度ともいいます。各データの平均からの偏差をもとにして測ります。

歪度は、分布について平均や分散以外の特性を知りたい場合などに用いられます。
歪度には、単位呼称はありません。
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理論

変数とその度数が

    X1,X2,....,XK
　　f1,f2,....,fK
　
と表されているとします。
度数分布表が、幅のない階級からなっているときは、Xiをそのまま計算に使います。

度数分布表が、幅のある階級からなっているときは、Xiを各階級の代表値として設
  定した上で計算に使います。

この分布の平均をμ、標準偏差をσとするとき、歪度は

   γ1=Σfi(Xi-μ)3/(Fσ3)    (1)
       Fは各fiの合計、 Σはiについて1からKまで合計する意味。

となります。

なお、この式は次のように表すこともできます。

   γ1={(ΣfiXi3)/F-3μ(ΣfiXi2)/F+2μ3}/σ3     (2)

式(1)と(2)は数理的に同じで、どちらを使用しても構いません。
  データが多いときは、式(2)が便利です。

歪度を求めるには、予め総度数、平均、標準偏差の値を用意する必要があります。

データが、平均を中心にして対称のときは、γ1=0となります。
しかし、非対称でもγ1=0となることがあるので注意を要します。

平均から右方遠くにデータがあり、左方遠くにはデータがないような分布では、歪度は正で大き
  くなります。この分布を正の非対称分布ということがあります。

平均から左方遠くにデータがあり、右方遠くにはデータがないような分布では、歪度は負で大き
  くなります。この分布を負の非対称分布ということがあります。
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計算例

計算例　Ｆ氏宅の６０日間の電話の呼数の分布が、次表の通りのとき、
        １日の呼数の歪度を求めます。

          １日の呼数 X    日数 f
                0           5
                1           8
                2          10
                3          12
                4           9
                5           7
                6           4
                7           3
                8           1
                9           1  
　　　　　　-------------------
               計          60

        先ず、このデータより F=60, Xの平均はμ=3.283'、標準偏差はσ=2.0983459
          となります。次にΣfiXi2=911, ΣfiXi3=4997を得て、これらを上式(2)にあてはめると

　　　　　  γ1=(4997/60-3*3.283'*911/60+2*3.283'3)/2.09834593=0.4890

          となります。
        　
      -----------

歪度の意味と計算手順のまとめ

意味：平均の周りの非対称の度合いを示す尺度

計算手順：１、総度数、平均、標準偏差を求める。

          ２、ΣfiXi2, ΣfiXi3を求め、上式 (2)
              にあてはめる。


      練習問題

         Ｇ氏の週ごとの晩酌の頻度は下表の通りです。
         晩酌回数の歪度を求めなさい。

           回数 X    週の数 f
              0          1
              1          5
              2          7
              3         14
              4         13
              5          8
              6          3
              7          1
            ----------------
             計         52

  ヒント：先ず、総度数、平均、標準偏差を求め、次にΣfiXi2, ΣfiXi3を求めて、
          これらを上式(2)にあてはめます。
            [答 歪度 γ1=-0.008858]