回帰係数

　（１）個別データの回帰係数

２つの変数 X,Yのデータがあって、(Xi,Yi)の形で与えられているとき、Xと Yの関係づけ
を行う基本的な方法に、Xと Yを１次式で結びつける方法があります。
　　　理論

１つの Xの値に対して、複数の Yの値が対応しているとき、Xの変化に伴う Yの平均を辿
ると、一般に折線の形状を呈します。これを Xに対する Yの回帰線といいます。回帰線を
最もよく代表する直線を、回帰直線といいます。

Xに対する Yの回帰直線の式は、

Y=AX+B              (1)

の形で表され、Aを Xに対する Yの回帰係数と言います。
Aと Bはデータから計算されます。即ち先ず、

A={NΣXiYi-(ΣXi)(ΣYi)}/{NΣXi2-(ΣXi)2}　　　(2)

によって Aを求め、次に

B=ΣYi/N-AΣXi/N       (3)

によって Bを求めます。
Aと Bを求めるには、データから次の６個の値を算出しておく必要があります。
　　　　   N,ΣXi,ΣYi,ΣXi2,ΣYi2,ΣXiYi

（変数が原因と結果を示しているようなときは、Xを原因、Yを結果とするのが普通です。
  変数が因果関係にない場合でも、回帰の理論は成り立ちます。)

Xと Yの立場を逆にすると、もう１つの回帰線と回帰直線ができます。Yに対する Xの回帰
直線の式は

X=CY+D              (4)

で、この場合

C={NΣXiYi-(ΣXi)(ΣYi)}/{NΣYi2-(ΣYi)2}　　　(5)

によってCを求め、次に

D=ΣXi/N-CΣYi/N        (6)

によってDを求めます。式(1)と(4)は異なります。
回帰係数は相関係数と関係があります。
Xと Yの相関係数をρとすると、

ρ=±√|AC|

となります。複号の選択は Aまたは Cの分子の符号とします。
       -------------------------------------
　　　計算例

       ８人の学生の身長 X(cm)と体重 Y(kg)のデータが (Xi,Yi)の形で有ります。
        式(1),(4)等を用いて身長に対する体重の回帰直線、体重に対する身長の
　　　　回帰直線、身長と体重の相関係数を求めます。

          (168,60)
          (162,55)
          (171,65)
          (159,60)
          (166,57)
          (175,61)
          (176,66)
          (168,56)

　　  　必要な６個の値を算出してみると
　　　　　 N=8, ΣXi=1345, ΣYi=480, ΣXi2=226371, ΣYi2=28912, ΣXiYi=80806

         これらにより
           A=(8*80806-1345*480)/(8*226371-13452)
             =848/1943=0.4364

           B=480/8-0.4364*1345/8=-13.3762
          となるので、Xに対する Yの回帰直線の式は

　　　　　 Y=0.4364X-13.3762

          となります。更に　
　　　　　 C=(8*80806-1345*480)/(8*28912-4802)
             =848/896=0.9464

           D=1345/8-0.9464*480/8=111.3393
          となるので、Yに対する Xの回帰直線の式は

　　　　　 X=0.9464Y+111.3393

          となります。なお、Xと Yの相関係数は
　
　　　　　ρ=√(0.4364*0.9464)=0.6427

　　　　　です。　　　
      --------------------------------------

回帰係数の意味と計算手順のまとめ

意味：２変数を直線的関係で近似したときの変数の平均変化率（２つあり）

計算手順：１、データの配列を確かめる。

          ２、次の６つの値を求める。
              N,ΣXi,ΣYi,ΣXi2,ΣYi2,ΣXiYi

          ３、これらを上式 (2),(5)などにあてはめる。

注意：データによっては、式(2)だけ、又は(5)だけの場合もある。

     練習問題

          次のような (X,Y) 型のデータがあります。Xに対する Yの回帰直線、
           Yに対する Xの回帰直線、XとYの相関係数を求めなさい。

                 (8,0)
                 (2,-5)
                 (11,5)
                 (-1,0)
                 (6,-3)
                 (15,1)
                 (16,6)
                 (8,-4)

               （注）このデータは、上記の計算例のデータにおいて、Xから160
                     を引き、Yから60を引いたものです。
                ヒント：先ずデータから、N,ΣXi,ΣYi,ΣXi2,ΣYi2,ΣXiYi
                        を算出します。
               （答）Y=0.4346X-3.5461
                     X=0.9464Y+8.125
                    ρ=0.6427

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