相関係数

（５）順位相関係数（その２）

この順位相関係数は、２つの順位の異同を採点して、その関係を示すものです。
同じデータでも、普通の相関係数や順位相関係数（その１）による値と異なります。

各順位は、普通 1〜N の１つで表され、同じ変数内での同順位はないものとします。
この順位相関係数は、-1 と 1 の間の値をとります。
−−−−−−−−−−−−−−−−
理論

N 個の変数の組 (X,Y) があり、X,Y とも 1〜N の値のいずれか１つ、重複なくとる
  ものとします。
ここで、X の順位を 1〜N の順に整理し、それに対応する Y の順位を R1,R2,...,RN
  のように書きます。(下表)
各 Riは 1〜N のいずれか１つを、漏れなく重複なくとるものとします。
下表において、
    R1の右側のR1より大きい数値の個数をτ1、
    R2の右側のR2より大きい数値の個数をτ2、
    R3の右側のR3より大きい数値の個数をτ3、
     .....

として、各τiを各順位の評点とします。（τはタウと読む)


第１順位
1
2
3
...
N
第２順位
R1
R2
R3
...
RN
評点
τ1
τ2
τ3
...
0

ここで

    τ=τ1+τ2+τ3+...

とおき、

    ρ=4*τ/{N(N-1)}-1　　　　(1)

によるρを順位相関係数とします。

この順位相関係数は、ケンドール(Kendall)の順位相関係数と呼ばれることがあります。
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　　計算例

          ８人の選手が競泳を２回行った結果、１回目の着順 (X)と２回目の着順 (Y)
            は次の通りでした。１回目と２回目の順位相関係数を求めます。

              選手  １回目の順位 (X)   ２回目の順位 (Y)
                1             4                   6
                2             7                   5
                3             1                   2
                4             5                   4
                5             2                   3
                6             8                   7
                7             6                   8 
                8             3                   1

    上のデータを、1回目の順位の順に並べ変え、その各順位に２回目の順位
      を対応させます。（下表）
次に、
    １回目の順位１に対する２回目の順位は２で、２の右の２より大きい数値は６個(=τ1)、
    １回目の順位２に対する２回目の順位は３で、３の右の３より大きい数値は５個(=τ2)、
    １回目の順位３に対する２回目の順位は１で、１の右の１より大きい数値は５個(=τ3)、
    以下、同様に採点していき、次表を得ます。


１回目の順位
1
2
3
4
5
6
7
8
２回目の順位
2
3
1
6
4
8
5
7
評点
6
5
5
2
3
0
1
0
その結果

    τ=τ1+τ2+τ3+.....=22

となるので、N=8を用いて

    ρ=4*τ/{N(N-1)}-1=4*22/{8(8-1)}-1=0.5714

となります。
なお、上のデータを順位相関係数（その１、スピアマン）の式にあてはめると、
  ρ=0.7619となります。
−−−−−−−−−−−
（参考１）
ρ=1となるのは、第１順位と第２順位が全く同じ場合です。

第１順位
1
2
3
...
N
第２順位
1
2
3
...
N

（参考２）
ρ=-1となるのは、第１順位と第２順位が正反対の場合です。

第１順位
1
2
3
...
N-1
N
第２順位
N
N-1
N-2
...
2
1
 
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順位相関係数の意味と計算手順のまとめ

意味：２系列の順位の関係の強さを表わす尺度。この順位相関係数は、
      第２順位が第１順位とどの程度異なっているかの尺度と考えてよい。

計算手順：１、データの配列を確かめる。

          ２、第１順位を1〜Nの順に並べ替え、第２順位を対応させる。

          ３、評点τ1,τ2,τ3...を数え、合計してτとする。

          ４、Nとτを上式(1)にあてはめる。
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     練習問題

          10人の生徒が２回の試験を受け、１回目の成績順と２回目の成績順は
            次の通りでした。成績順位の相関係数を求めなさい。

                 生徒  １回目の成績順位(X)   ２回目の成績順位(Y)
                   1                 4                     6
                   2                10                     7
                   3                 5                     5
                   4                 9                     8
                   5                 7                    10
                   6                 3                     2
                   7                 1                     3
                   8                 6                     4
                   9                 2                     1
                  10                 8                     9

ヒント：１回目の順位を 1〜N の順にし、これに従って２回目の順位を並べ替え、
          評点をつける。
            [答 ρ=0.51']   参考：同じデータのスピアマンの順位相関係数は 0.79'3'