相関係数

　（１）個別データの相関係数

相関係数は、２つの変数の直線的関係の程度を測る尺度で、普通、ρ(ロー)で表わ
  します。
直線的でない関係は、この相関係数では測れません。
相関係数は、常に -1 と +1 の間にあります。
相関係数には、単位呼称はありません。

相関関係は、因果関係とは別です。データの内容によって、因果関係として捉えて
  よい場合もあるし、そうでない場合もあります。

　　理論

      相関係数は、２つの変数 X と Y の積和を核として、X の平均と標準偏差、
　　　Y の平均と標準偏差を組み合わせて求めます。

　　　個別データは、(Xi,Yi)の形で与えられます。

　　　　ρ＝Σ(Ｘi-μX)(Yi-μY)/(NσXσY)                (1)
            ここに Σは iについて 1から Nまで計をとる記号
                   Nはデータの数、
                   μXは Xの平均、μYは Yの平均、
                   σXは Xの標準偏差、σYは Yの標準偏差
  
　　　相関係数は、計算の便宜のため、次の式によることもできます。

　　　　 ρ={NΣXiYi-ΣXiΣYi}/
            √[{NΣXi2-(ΣXi)2}{NΣYi2-(ΣYi)2}]          (2)

      式(1)と(2)は数理的に同じで、どちらを使っても構いません。
        実務では式(2)が便利です。

      相関係数は、変数に一定数を加減しても、変わりません。また、
　　　　０でない一定数で乗除しても、符号を除いて変わりません。
　　　　符号は、負で乗除した回数が奇数のときだけ、変化します。
       -------------------------------------
　　　計算例

       ８人の学生の身長 X(cm)と体重 Y(kg)のデータが (X,Y)の形で有ります。
        (2)式を用いて身長と体重の相関係数を求めます。

          (168,60)
          (162,55)
          (171,65)
          (159,60)
          (166,57)
          (175,61)
          (176,66)
          (168,56)

　　  (2)式を用いる場合、次の６個の値を算出する必要があります。
　　　　   N,ΣXi,ΣYi,ΣXi2,ΣYi2,ΣXiYi

         計算してみると
　　　　　 N=8, ΣXi=1345, ΣYi=480, ΣXi2=226371, ΣYi2=28912, ΣXiYi=80806

         これらにより
           ρ=(8*80806-1345*480)/√{(8*226371-13452)*(8*28912-4802)}
             =848/1319.44231=0.6427

          となります。
      --------------------------------------

相関係数の意味と計算手順のまとめ

意味：２変数の直線的関係の強さを表わす尺度。

計算手順：１、データの配列を確かめる。

          ２、次の６つの値を求める。
              N,ΣXi,ΣYi,ΣXi2,ΣYi2,ΣXiYi

          ３、これらを上式 (2)にあてはめる。

     練習問題

          次のような (X,Y) 型のデータがあります。Xと Yの相関係数を
           求めなさい。

                 (8,0)
                 (2,-5)
                 (11,5)
                 (-1,0)
                 (6,-3)
                 (15,1)
                 (16,6)
                 (8,-4)

               （注）このデータは、上記の計算例のデータにおいて、Xから160
                     を引き、Yから60を引いたものです。相関係数は上記の計
                     算例と同じになります。
                ヒント：式(2)を用いるとして、N,ΣXi,ΣYi,ΣXi2,ΣYi2,ΣXiYi
                        を算出します。
               （答）ρ=0.6427

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