変数変換による計算

（１）平均の計算

変数の値が一様に大きかったり、ある数の倍数であったりするとき、計算が煩わしくな
  ることがあります。そのような場合、変数にある定数を加減したり、変数をある定数
  で乗除すると、変数の桁が少なくなるなど、値が簡単になる場合があります。

その場合、簡単になった値に対して所要の計算をしてから、先に用いた定数で逆算する
  と、目的の計算値を求めることができます。

このようにして、変数の値を変えることを、変数変換といいます。変数の加減乗除に用
  いる定数は、任意で構いませんが、選択の仕方によっては、計算が一層面倒になるこ
  とがあります。
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計算例

　変数 Xの値を

        10025,10030,10020,10015,10005

  とし、これらの平均を求めるのに、各値は一様に 10000に近いので、各値から 10000
  を引くと、各値は

        25,30,20,15,5

  となります。これらは皆 5の倍数ですから、これらを　5で割ると

        5.6.4.3.1

  となります。これらの値を Yで表わせば、Yは元の変数 Xに対して

        Y=(X-10000)/5

  という変換を行ったことになります。
  そこで、Yについて平均を求めますと、

       μY=3.8

  となります。

  次に、X の平均を求めるため、先に用いた定数 5と10000によって逆算します。すな
    わち Xの平均は、

       μX=5*μY+10000=10019

  となります。
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  理論

    変数 Xに対して、適当な定数 a,b(≠0)をとり、

      Y=(X-a)/b

    とおくとき、これを Xの１次変換といいます。

    Xは個別データであっても、度数分布の変数であっても構いません。

    aを、Xの平均に近い値と想定するとき、aを仮想平均ということがあります。

    平均に関する変数間の関係は、

      μY=(μX-a)/b

    となります。

    これにより、Xの平均を逆算すると、

      μX=b*μY+a

    となります。

    なお、

      Y=X/c-d

    の形で変数変換をしたときは、逆算は

     μX=(μY+d)*c

    で行ないます。

    上の理論は、任意の a,b(≠0),c(≠0),dで成り立ちますが、a,b,c,dの選び方に
      よっては、計算が楽にならないことがあります。
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練習問題

　　次のデータは、ある理髪店の料金別客数の統計です。単価の平均は幾らですか。

　　　　1500円　　61人
        1700      92
        2000      37
        2200      20
        2400      15

    ヒント：度数分布表の形になっていますが、変数変換を行った後、度数を用いて
　　　　　　平均を計算し、逆算して答を出します。用いる定数は、例えば a=2000,
            b=100 でよいでしょう。　
　　　　[答1786(円)]