Untersuchung mit Zahlen    Theorie　Beispiele der Entwicklung von 1/(1±x)

                                 Rechnungsformular von 1/(1-x), 1/(1+x)

 Wir versuchen 1/(1±x) mit p=2 und q=5 d.h. 2＜x＜5 zu entwickeln. Wir können

kleinere Fehler für größeres n oder für näheres x an der Mitte des Intervalls

erhalten. Die Zahlen in den Tabellen sind für p=2 und q=5. Die Werte für x=2

und 5 sind ungültig. (8)-(17) unten sind die Formeln auf den Seiten der Theorie.



x
Summen
der Folge
Richtige
Werte
Fehler(r1)

2(=p)
(-0,64)
(-1,00)
(0,36)

2,5
-0,56
-0,67
0,11

3,0
-0,48
-0,50
0,02

3,5
-0,40
-0,40
0,00

4,0
-0,32
-0,33
0,01

4,5
-0,24
-0,29
0,05

5(=q)
(-0,16)
(-0,25)
(0,09)



1. Entwicklung von 1/(1-x) 



Für n=1, p=2, q=5

　Mit (8) gilt a10=-2{1+(5+2)/(5+2-2)}/

 (5+2-2)=-0,96; a11=4/(5+2-2)2=0,16

 Daher ist

 1/(1-x)=-0,96+0,16x+r1.........(18)

 Siehe Tabelle rechts.


x
Summen
der Folge
Richtige
Werte
Fehler(r2)

2(=p)
(-0,784)
(-1,0000)
(0,216)

2,5
-0,624
-0,6667
0,0427

3,0
-0,496
-0,5000
0,0040

3,5
-0,4000
-0,4000
0,0000

4,0
-0,336
-0,3333
-0,0027

4,5
-0,304
-0,2857
-0,0183

5(=q)
(-0,304)
(-0,2500)
(-0,0540)



Für n=2, p=2, q=5

　Mit (10) gilt a20=-2[1+(5+2)/(5+2-2)

 +{(5+2)/(5+2-2)}2]/(5+2-2)=-1,744

 a21=4{1+2(5+2)/(5+2-2)}/(5+2-2)2

 =0,608; a22=-8/(5+2-2)3=-0,064

 Daher ist

 1/(1-x)=-1,744+0,608x-0,064x2+r2..(19)

 Siehe Tabelle rechts.


x
Summen
der Folge
Richtige
Werte
Fehler(r3)

2(=p)
(-0,8704)
(-1,0000)
(0,1296)

2,5
-0,6496
-0,6667
0,0171

3,0
-0,4992
-0,5000
0,0008

3,5
-0,4000
-0,4000
0,0000

4,0
-0,3328
-0,3333
0,0005

4,5
-0,2784
-0,2857
0,0073

5(=q)
(-0,2176)
(-0,2500)
(0,0324)



Für n=3, p=2, q=5

　Mit (12) gilt a30=-2,8416; a31=1,5488;

 a32=-0,3328; a33=0,0256 

 Daher ist

 1/(1-x)=-2,8416+1,5488x-0,3328x2

 +0.0256x3+r3....................(20)

 Siehe Tabelle rechts.


x
Summen
der Folge
Richtige
Werte
Fehler(r4)

2(=p)
(-0,9222)
(-1,0000)
(0,07776)

2,5
-0,65984
-0,66667
0,00683

3,0
-0,49984
-0,50000
0,00016

3,5
-0,40000
-0,40000
0,00000

4,0
-0,33344
-0,33333
-0,00011

4,5
-0,28864
-0,28571
-0,00293

5(=q)
(-0,2694)
(-0,2500)
(-0,01944)



Für n=4, p=2, q=5

　Mit (14) gilt a40=-4,37824; 

 a41=3,30496; a42=-1,08544;

 a43=0,16896; a44=-0,01024

 Daher ist

 1/(1-x)=-4,37824+3,30496x-1,08544x2

 +0,16896x3-0,01024x4+r4.........(21)

 Siehe Tabelle rechts.




2. Entwicklung von 1/(1+x)



x
Summen
der Folge
Richtige
Werte
Fehler(r1)

2(=p)
(0,29630)
(0,33333)
(-0,03704)

2,5
0,27160
0,28571
-0,01411

3,0
0,24691
0,25000
-0,00309

3,5
0,22222
0,22222
0,00000

4,0
0,19753
0,20000
-0,00247

4,5
0,17284
0,18182
-0,00898

5(=q)
(0,14815)
(0,16667)
(-0,01852)



Für n=1, p=2, q=5

　Mit (17) gilt b10=2{1+(5+2)/(5+2+2)}/

  (5+2+2)=0,39506

  b11=-4/(5+2+2)2=-0,04938

  Daher ist

　1/(1+x)=0,39506-0,04938x+r1...(22)

  Siehe Tabelle rechts.


x
Summen
der Folge
Richtige
Werte
Fehler(r2)

2(=p)
(0,32099)
(0,33333)
(-0,01234)

2,5
0,28258
0,28571
-0,00314

3,0
0,24966
0,25000
-0,00034

3,5
0,22222
0,22222
0,00000

4,0
0,20027
0,20000
0,00027

4,5
0,18381
0,18182
0,00200

5(=q)
(0,17284)
(0,16667)
(0,00617)



Für n=2, p=2, q=5

　Mit (17) gilt b20=2[1+(5+2)/(5+2+2)

  +{(5+2)/(5+2+2)}2]/(5+2+2)=0,52949

  b21=-4{1+2(5+2)/(5+2+2)}/(5+2+2)2

  =-0,12620; b22=8/(5+2+2)3=0,01097

  Daher ist

　1/(1+x)=0,52949-0,12620x+0,01097x2

  +r2...........................(23)

  Siehe Tabelle rechts.


x
Summen
der Folge
Richtige
Werte
Fehler(r3)

2(=p)
(0,32922)
(0,33333)
(-0,00412)

2,5
0,28502
0,28571
-0,00070

3,0
0,24996
0,25000
-0,00004

3,5
0,22222
0,22222
0,00000

4,0
0,19997
0,20000
-0,00003

4,5
0,18137
0,18182
-0,00044

5(=q)
(0,16461)
(0,16667)
(-0,00206)



Für n=3, p=2, q=5

　Mit (17) gilt b30=0,63405; b31=-0,21582;

  b32=0,03658; b33=-0,00244 

  Daher ist

  1/(1+x)=0,63405-0,21582x+0,03658x2

  -0,00244x3+r3..................(24)

  Siehe Tabelle rechts.


x
Summen
der Folge
Richtige
Werte
Fehler(r4)

2(=p)
(0,33196)
(0,33333)
(-0,00137)

2,5
0,28556
0,28571
-0,00015

3,0
0,25000
0,25000
-0,00000

3,5
0,22222
0,22222
0,00000

4,0
0,20000
0,20000
0,00000

4,5
0,18192
0,18182
0,00010

5(=q)
(0,16735)
(0,16667)
(0,00069)



Für n=4, p=2, q=5

　Mit (17) gilt b40=0,71537; b41=-0,30876;

  b42=0,07641; b43=-0,01003;

  b44=0,00054

  Daher ist

　1/(1+x)=0,71537-0,30876x+0,07641x2

  -0,01003x3+0,00054x4+r4........(25)

  Siehe Tabelle rechts.