Untersuchung mit Zahlen    Theorie Beispiele der Entwicklung von 1/(1±x)

                                 Rechnungsformular von 1/(1-x), 1/(1+x)

 Wir versuchen 1/(1±x) mit p=2 und q=5 d.h. 2<x<5 zu entwickeln. Wir können

kleinere Fehler für größeres n oder für näheres x an der Mitte des Intervalls

erhalten. Die Zahlen in den Tabellen sind für p=2 und q=5. Die Werte für x=2

und 5 sind ungültig. (8)-(17) unten sind die Formeln auf den Seiten der Theorie.



xSummen
der Folge
Richtige
Werte
Fehler(r1)
2(=p)(-0,64)(-1,00)(0,36)
2,5-0,56-0,670,11
3,0-0,48-0,500,02
3,5-0,40-0,400,00
4,0-0,32-0,330,01
4,5-0,24-0,290,05
5(=q)(-0,16)(-0,25)(0,09)
1. Entwicklung von 1/(1-x) Für n=1, p=2, q=5  Mit (8) gilt a10=-2{1+(5+2)/(5+2-2)}/ (5+2-2)=-0,96; a11=4/(5+2-2)2=0,16 Daher ist 1/(1-x)=-0,96+0,16x+r1.........(18) Siehe Tabelle rechts.
xSummen
der Folge
Richtige
Werte
Fehler(r2)
2(=p)(-0,784)(-1,0000)(0,216)
2,5-0,624-0,66670,0427
3,0-0,496-0,50000,0040
3,5-0,4000-0,40000,0000
4,0-0,336-0,3333-0,0027
4,5-0,304-0,2857-0,0183
5(=q)(-0,304)(-0,2500)(-0,0540)
Für n=2, p=2, q=5  Mit (10) gilt a20=-2[1+(5+2)/(5+2-2) +{(5+2)/(5+2-2)}2]/(5+2-2)=-1,744 a21=4{1+2(5+2)/(5+2-2)}/(5+2-2)2 =0,608; a22=-8/(5+2-2)3=-0,064 Daher ist 1/(1-x)=-1,744+0,608x-0,064x2+r2..(19) Siehe Tabelle rechts.
xSummen
der Folge
Richtige
Werte
Fehler(r3)
2(=p)(-0,8704)(-1,0000)(0,1296)
2,5-0,6496-0,66670,0171
3,0-0,4992-0,50000,0008
3,5-0,4000-0,40000,0000
4,0-0,3328-0,33330,0005
4,5-0,2784-0,28570,0073
5(=q)(-0,2176)(-0,2500)(0,0324)
Für n=3, p=2, q=5  Mit (12) gilt a30=-2,8416; a31=1,5488; a32=-0,3328; a33=0,0256 Daher ist 1/(1-x)=-2,8416+1,5488x-0,3328x2 +0.0256x3+r3....................(20) Siehe Tabelle rechts.
xSummen
der Folge
Richtige
Werte
Fehler(r4)
2(=p)(-0,9222)(-1,0000)(0,07776)
2,5-0,65984-0,666670,00683
3,0-0,49984-0,500000,00016
3,5-0,40000-0,400000,00000
4,0-0,33344-0,33333-0,00011
4,5-0,28864-0,28571-0,00293
5(=q)(-0,2694)(-0,2500)(-0,01944)
Für n=4, p=2, q=5  Mit (14) gilt a40=-4,37824; a41=3,30496; a42=-1,08544; a43=0,16896; a44=-0,01024 Daher ist 1/(1-x)=-4,37824+3,30496x-1,08544x2 +0,16896x3-0,01024x4+r4.........(21) Siehe Tabelle rechts.
2. Entwicklung von 1/(1+x)
xSummen
der Folge
Richtige
Werte
Fehler(r1)
2(=p)(0,29630)(0,33333)(-0,03704)
2,50,271600,28571-0,01411
3,00,246910,25000-0,00309
3,50,222220,222220,00000
4,00,197530,20000-0,00247
4,50,172840,18182-0,00898
5(=q)(0,14815)(0,16667)(-0,01852)
Für n=1, p=2, q=5  Mit (17) gilt b10=2{1+(5+2)/(5+2+2)}/ (5+2+2)=0,39506 b11=-4/(5+2+2)2=-0,04938 Daher ist  1/(1+x)=0,39506-0,04938x+r1...(22) Siehe Tabelle rechts.
xSummen
der Folge
Richtige
Werte
Fehler(r2)
2(=p)(0,32099)(0,33333)(-0,01234)
2,50,282580,28571-0,00314
3,00,249660,25000-0,00034
3,50,222220,222220,00000
4,00,200270,200000,00027
4,50,183810,181820,00200
5(=q)(0,17284)(0,16667)(0,00617)
Für n=2, p=2, q=5  Mit (17) gilt b20=2[1+(5+2)/(5+2+2) +{(5+2)/(5+2+2)}2]/(5+2+2)=0,52949 b21=-4{1+2(5+2)/(5+2+2)}/(5+2+2)2 =-0,12620; b22=8/(5+2+2)3=0,01097 Daher ist  1/(1+x)=0,52949-0,12620x+0,01097x2 +r2...........................(23) Siehe Tabelle rechts.
xSummen
der Folge
Richtige
Werte
Fehler(r3)
2(=p)(0,32922)(0,33333)(-0,00412)
2,50,285020,28571-0,00070
3,00,249960,25000-0,00004
3,50,222220,222220,00000
4,00,199970,20000-0,00003
4,50,181370,18182-0,00044
5(=q)(0,16461)(0,16667)(-0,00206)
Für n=3, p=2, q=5  Mit (17) gilt b30=0,63405; b31=-0,21582; b32=0,03658; b33=-0,00244 Daher ist 1/(1+x)=0,63405-0,21582x+0,03658x2 -0,00244x3+r3..................(24) Siehe Tabelle rechts.
xSummen
der Folge
Richtige
Werte
Fehler(r4)
2(=p)(0,33196)(0,33333)(-0,00137)
2,50,285560,28571-0,00015
3,00,250000,25000-0,00000
3,50,222220,222220,00000
4,00,200000,200000,00000
4,50,181920,181820,00010
5(=q)(0,16735)(0,16667)(0,00069)
Für n=4, p=2, q=5  Mit (17) gilt b40=0,71537; b41=-0,30876; b42=0,07641; b43=-0,01003; b44=0,00054 Daher ist  1/(1+x)=0,71537-0,30876x+0,07641x2 -0,01003x3+0,00054x4+r4........(25) Siehe Tabelle rechts.