楕円極座標系は、極座標系の変形
 の１種です。
 設定の仕方によって何通りもでき
 ます。

 先ず、既設の極座標系を次の通り
 とします。
 極座標系の座標変数を X,Y 、直交
 座標系の座標変数を W,Z とし、
 両者の関係を

  W=Y*Cos(X),   0≦X＜2π
  Z=Y*Sin(X),   Y≧0

であるとします。
この極座標系から導かれる楕円極座標系は次のようになります。
正数 a, b をとり、

  W=a*Y*Cos(X),   0≦X＜2π
  Z=b*Y*Sin(X),   Y≧0,   a＞0, b＞0

とすると、この X,Y が楕円極座標系を形成することとなります。
a=b=1 の場合は、普通の極座標系となります。
a≠b の場合、座標系は、普通の極座標系を上下または左右に伸縮した形となります。例えば、
a=2, b=1 の場合、楕円極座標系と直交座標系の関係は、

  W=2*Y*Cos(X),   0≦X＜2π
  Z=Y*Sin(X),   Y≧0

となります。これにより、

  W2/4 +Z2=Y2

となりますから、楕円極座標系における同じ Y の値が、X の値に関係なく、直交座標系では
楕円を描くことになります。（極座標系の場合は円）
極から楕円周までの距離は、実距離が違っても、楕円極座標系においては一定です。図の点 P,Q,R
については、直交座標系としては PQ≠PR ですが、楕円極座標系で読めば、PQ=PR=4 となります。